2022年考研数学高数：重要定理之函数与极 限

1、函数的有界性在定义域内有f(x)&geK1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界如果有f(x)&leK2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分要条件是在定义域内既有上界又有下界。

2、数列的极 限定理(极 限的性)数列xn不能同时收敛于两个不同的极 限。

定理(收敛数列的有界性)如果数列xn收敛，那么数列xn一定有界。

如果数列xn无界，那么数列xn一定发散但如果数列xn有界，却不能断定数列xn一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的要条件而不是充分条件。

定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列xn收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列xn有两个子数列收敛于不同的极 限，那么数列xn是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列x2k-1收敛于1，xnk收敛于-1，xn却是发散的同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。

3、函数的极 限函数极 限的定义中

定理(极 限的局部保号性)如果lim(x&rarrx0)时f(x)=A，而且A>0(或A0(或f(x)>0)，反之也成立。

函数f(x)当x&rarrx0时极 限存在的充分要条件是左极 限右极 限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。

一般的说，如果lim(x&rarr&infin)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x&rarrx0)f(x)=&infin，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。

4、极 限运算法则定理：有限个无穷小之和也是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小定理如果F1(x)&geF2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a&geb.

5、极 限存在准则：两个重要极 限lim(x&rarr0)(sinx/x)=1lim(x&rarr&infin)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列xn、yn、zn满足下列条件：yn&lexn&lezn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。

单调有界数列有极 限。

6、函数的连续性：设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x&rarrx0时的极 限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x&rarrx0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。

不连续情形：1、在点x=x0没有定义2、虽在x=x0有定义但lim(x&rarrx0)f(x)不存在3、虽在x=x0有定义且lim(x&rarrx0)f(x)存在，但lim(x&rarrx0)f(x)&nef(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。

如果x0是函数f(x)的间断点，但左极 限及右极 限都存在，则称x0为函数f(x)的第 一类间断点(左右极 限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。非第 一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。

定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。

定理如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x=f(y)在对应的区间Iy=y|y=f(x)，x&isinIx上单调增加或减少且连续。反三角函数在他们的定义域内都是连续的。

定理(最 大值最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最 大值和最小值。如果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最 大值和最小值。

定理(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界，即m&lef(x)&leM.定理(零点定理)设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a)与f(b)异号(即f(a)×f(b)

推论在闭区间上连续的函数取得介于最 大值M与最小值m之间的任何值。